Mittag-Leffler à Poincaré

Helsingfors 11 Avril 1881
Finlande

Monsieur,

Permettez-moi de envoyer sous bande quelques exemplaires d'un mémoire

^{1}

que notre maitre vénéré M. Hermite a voulu bien me faire l'honneur de publier ici. M. Hermite y communique entre autres choses un résultat qui m'a paru d'un très grand intérêt

^{2}

. Le résultat m'intéresse autant / plus comme je me suis occupé depuis longtemps avec des fonctions d'une nature analogue avec la votre. Voyez là dessus quelques mots dans une lettre de moi à M. Hermite

^{3}

publiée dans les annales de Monsieur Darboux

^{4}

J'espère de pouvoir vous envoyer bientôt un travail plus développé là-dessus.

Monsieur Hermite m'a écrit des choses qui m'intéresse à la plus haute degré sur vos théories du doctorat

^{5}

. J'ai / écrit à Gauthier-Villars pour demander qu'on m'envoyait un[e] exemplaire mais il m'ont répondu que le travail soit épuisé. Il ne vous reste pas par hasard un[e] exemplaire et vous ne voulez pas être assez bon pour m'en faire cadeau ?

^{6}

Quand est-ce-que vous pensez publier vos recherches sur les équations différentielles ? J'attends cette publication avec impatience. Je n'ai pu voir du compte rendu de M. Hermite

^{7}

si vos résultats / sont les mêmes qui a publié M. Fuchs nouvellement ou si vos recherches sont plus générales encore

^{8}

Agréez, Monsieur, l'expression de la haute considération et de l'estime profonde avec laquelle je suis votre humble serviteur.

G. Mittag-Leffler

ALS 4p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes:

^{1}

[Hermite 1881a]. Hermite avait soumis son article au Journal für die reine und angewandte Mathematik par l'intermédiaire de Mittag-Leffler. Ce dernier lui répondait le 2 février 1881 :

Je ne sais pas comment vous exprimer ma profonde gratitude de l'insigne honneur que vous m'avez faite en me faisant cette dernière communication et en m'autorisant de la faire publier. Il va sans dire que j'écrirai demain à M. Weierstrass en le priant de publier la lettre dans le journal de Borchardt. Mais je vous demande aussi de vouloir bien faire l'honneur à notre société des sciences de me permettre de publier en même temps la lettre dans nos actes. [AS]

L'article de Hermite Sur quelques points de la théorie des fonctions est publié dans Acta Societatis Scientarum Fennicæ 12.

^{2}

Dans une note à la fin de cet article, Hermite cite le travail de Poincaré sur les fonctions à espace lacunaire, c'est-à-dire les fonctions non-prolongeables à tout le plan complexe :

Voici au sujet de ces fonctions présentant des espaces lacunaires, des résultats extrêmement intéressants qui m'ont été communiqués par un de mes élèves, M. Poincaré.

Soient

u_{1}, u_{2}, \dots u_{n}

n quantités imaginaires de module plus petit que 1

α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}

n quantités imaginaires quelconques, x la variable indépendante. La série :

\sum \frac{u_{1}^{p_{1}} u_{2}^{p_{2}} \dots u_{n}^{p_{n}}}{x - \frac{p_{1} α_{1} + p_{2} α_{2} + \dots + p_{n} α_{n}}{p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n}}}

où l'on donne à

p_{1}, p_{2}, \dots p_{n}

toutes les valeurs entières positives, sera convergente si x est extérieur au polygone convexe circonscrit aux n points

α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}

; elle sera divergente s'il est à l'intérieur de ce polygone. Elle définit donc une fonction présentant ce polygone comme espace lacunaire. Cette fonction n'est qu'un cas particulier de la suivante.

Soit une équation aux différentielles partielles (1)

u_{1} F_{1} \frac{dz}{{du}_{1}} + u_{2} F_{2} \frac{dz}{{du}_{2}} + \dots + u_{n} F_{n} \frac{dz}{{du}_{n}} = z

où

F_{1}, F_{2}, \dots, F_{n}

sont des fonctions développées en séries suivant les puissances croissantes de

u_{1}, u_{2}, \dots u_{n}

et d'un paramètre arbitraire x ; ces fonctions sont supposées se réduire respectivement à

x - α_{1}, x - α_{2}, \dots, x - α_{n}

pour

u_{1} = u_{2} = \dots = u_{n} = 0

. Il existe une série ordonnée suivant les puissances des paramètres u, et satisfaisant formellement l'équation (1). Les coefficients de cette série et sa somme quand elle est convergente dépendent de x.

Donnons à

u_{1}, u_{2}, \dots u_{n}

des valeurs de module suffisamment petites, la série définira une fonction présentant un espace lacunaire, le polygone convexe circonscrit à

α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}

. [Hermite 1881, p. 77]

Dans sa lettre du 11 mars, Hermite demande à Mittag-Leffler son avis sur les résultats de Poincaré :

«Dites moi aussi ce que vous pensez des fonctions de Poincaré avec des lacunes ;» [Dugac 1984, p. 110]

L'appréciation de Mittag-Leffler est assez mitigée. Il évoque en particulier, dans sa réponse du 15 mars, les travaux de Weierstrass publiés dans le mémoire Zur Functionenlehre :

La fonction de M. Poincaré me paraît fort intéressante mais pourtant je dois vous avouer que l'existence des fonctions avec des espaces lacunaires me paraît avoir été démontrée auparavant par les recherches de Monsieur Weierstrass. La série

\sum_{ν = 0}^{\infty} b^{ν} x^{a_{ν}}

dans laquelle a est un nombre positif entier, b une quantité positive moindre que 1 et

a_{ν} = a^{ν}

est une telle fonction. Elle existe partout en dedans et sur la circonférence avec le point x = 0 pour centre et le rayon 1 mais elle n'existe en aucun point en dehors de ce cercle. Vous trouverez quelques mots sur cette fonction à la fin du dernier article de M. Weierstrass dans le Berliner Monatsbericht. [AS - Lettre du 15 mars 1881]

De nouveau, dans sa lettre adressée à Hermite le 21 mars, Mittag-Leffler insiste sur la priorité de Weierstrass concernant la découverte des fonctions à espace lacunaire.

Voir mittag-leffler2, note n°4 et suivantes.

^{3}

[Mittag-Leffler 1879]. Dans cette lettre, Mittag-Leffler signale ses théorèmes sur le développement des fonctions monogènes qui admettent des pôles et des zéros donnés (voir mittag-leffler10, note n°2). En outre, il annonce à la fin de la lettre, un travail sur des équations différentielles du même type que celles étudiées par Poincaré :

Je travaille en ce moment à un nouveau Mémoire en langue allemande [... ] où je veux donner une représentation arithmétique générale de fonctions uniformes, qui aient une infinité multiple de points singuliers essentiels. [Mittag-Leffler 1879, p. 275]

^{4}

Darboux était éditeur du Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques.

^{5}

[Poincaré 1879]. Darboux, dans son éloge nécrologique de Poincaré, rappelle que l'étude de Poincaré des fonctions lacunaires avait impressionné Hermite.

Quoi qu'il en soit, sa thèse se recommande par plusieurs notions nouvelles et importantes. J'en citerai deux seulement : celle des fonctions à espaces lacunaires, qui avait beaucoup frappé Hermite, et celle des fonctions algébroïdes [... ]. [Darboux 1913, p. VII]

Poincaré, dans l'analyse de ses travaux scientifiques, distingue 3 classes de fonctions d'une variable complexe, «1° fonctions uniformes existant dans toute l'étendue du plan ; 2° fonctions uniformes à espaces lacunaires, c'est-à-dire n'existant pas dans toute l'étendue du plan ; 3° fonctions non uniformes» [Poincaré 1901a, p. 65].

Puis, il explique les liens entre les résultats de sa thèse et ses travaux concernant les fonctions lacunaires :

Passons maintenant à la deuxième classe, celle des fonctions à espaces lacunaires signalées pour la première fois par M. Weierstrass. J'ai été conduit par deux voies à m'occuper de ces fonctions. En premier lieu les fonctions fuchsiennes et kleinéennes n'existent en général qu'à l'intérieur d'un cercle ou d'un domaine plus compliqué ; elles me fournissent donc un exemple de fonctions à espaces lacunaires. Les résultats de ma thèse inaugurale me conduisaient également à des fonctions présentant des lacunes. [Poincaré 1901, p. 67]

^{6}

Mittag-Leffler fait la même demande à Hermite dans sa lettre du 6 avril 1881 :

Vous ne pouvez pas me procurer une exemplaire du thèse de M. Poincaré ? J'ai écrit à Messieurs Gauthier-Villars pour demander qu'on m'envoyait une exemplaire, mais ils m'ont répondu que le mémoire était déjà épuisé. M. Poincaré est un jeune homme, je suppose ? [AS]

^{7}

Mittag-Leffler fait ici allusion au rapport, présenté devant l'Académie par Hermite à la séance du 14 mars 1881, sur les mémoires présentés au grand prix des Sciences mathématiques de l'année 1880. La question posée était :

Perfectionner en quelque point important la théorie des équations différentielles linéaires à une seule variable indépendante.

Le lauréat, cette année là, fut Halphen. Poincaré proposa un mémoire, sous l'épigraphe Non inultus premor, la devise de sa ville natale Nancy, qui obtint une mention très honorable :

[... ], l'auteur traite successivement deux questions entièrement différentes, dont il fait l'étude approfondie avec un talent dont la Commission a été extrêmement frappée. La seconde question, qui reçoit les développements les plus étendus, concerne de belles et importantes recherches de M. Fuchs, dont nous indiquerons en quelques mots l'objet. M. Fuchs s'est proposé de déterminer sous quelles conditions on définit une fonction uniforme en égalant à une indéterminée le quotient des intégrales d'une équation différentielle linéaire du second ordre. Les résultats si remarquables du savant géomètre présentaient dans certains des lacunes que l'auteur a reconnues et signalées en complétant ainsi une théorie analytique extrêmement intéressante. Cette théorie lui a suggéré l'origine de transcendantes comprenant en particulier les fonctions elliptiques et qui permettent d'obtenir, dans des cas très généraux, la solution des équations linéaires du second ordre. C'est là une voie féconde que l'auteur n'a point parcourue en entier, mais qui témoigne d'un esprit inventif et profond. La Commission ne peut que l'engager à poursuivre ses recherches, en signalant à l'Académie le beau talent dont il a fait preuve. [Hermite 1881b, p. 73]

Sur ce mémoire et ses suppléments, on peut consulter le livre de Gray et Walter [1997].

^{8}

Fuchs étudie dans son article de 1880, Über eine Classe von Functionen mehrerer Variabeln, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten entstehen, les équations différentielles linéaires du second ordre

\frac{d^{2} y}{{dx}^{2}} + P (x) \frac{dy}{dx} + Q (x) y = 0 .

Fuchs "montre" que sous certaines conditions, la variable x vue comme fonction du quotient de deux intégrales de cette équation est une fonction méromorphe. Poincaré fait remarquer que les conditions de Fuchs ne sont ni nécessaires, ni suffisantes. En reprenant l'analyse de cette question, Poincaré est amené à étudier les «opérations qui ne changent pas x». Si l'on suppose que l'équation différentielle n'admet que deux points singuliers à distance finie et que les différences des racines des équations déterminantes (ou indicielles) sont des nombres entiers, les transformations qui laissent invariant x, s'interprètent, selon les cas, comme des transformations de la géométrie sphérique, de la géométrie euclidienne ou de la géométrie hyperbolique et x est respectivement une fonction rationnelle du rapport des deux intégrales, une fonction doublement périodique ou une fonction que Poincaré propose d'appeler fuchsienne [Poincaré 1880c] :

La fonction fuchsienne est à la géométrie de Lobatchewski ce que la fonction doublement périodique est à celle d'Euclide. [1880c, p. 37]

En réunissant les résultats obtenus dans la deuxième partie de son mémoire présenté au concours pour le Prix des Sciences mathématiques et ceux démontrés dans les suppléments, Poincaré conclut que sa « méthode permet donc d'intégrer toutes les équations du 2

^{d}

ordre à coefficients rationnels » [1880c, p. 103]

Voir mittag-leffler3, notes n°12 et 14, mittag-leffler11, notes n°3 et 4.

Archives Henri Poincaré (CNRS, UMR 7117)