Poincaré à Mittag-Leffler

Nancy, 19 Août 1881

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Mon cher ami,

Je vous remercie bien des 50 exemplaires que vous avez bien voulu m'envoyer ainsi que de votre lettre qui m'a fait le plus grand plaisir.

Au sujet du théorème auquel votre nom est attaché

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, je voudrais vous demander si vous en avez fait / une généralisation pour le cas des fonctions uniformes à espace lacunaire et des fonctions présentant une infinité de points singuliers essentiels

^{3}

. Une pareille généralisation me serait fort utile dans la théorie des fonctions fuchsiennes qui présentent de telles singularités

^{4}

En ce moment, je suis en vacances et, si vous vouliez m'écrire, il faudrait m'adresser votre lettre rue de Serre, 9, Nancy, France

^{5}

Adieu, mon cher ami, je vous serre cordialement la main et je vous prie d'agréer l'assurance de mon affection sincère et de mon admiration / pour votre talent.

Poincaré

ALS 3p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes:

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[ML Poincaré 6] Nancy-20 août - Helsingfors-25 août.

^{2}

Mittag-Leffler avait montré qu'il existe des fonctions méromorphes dont les pôles et les parties principales sont données arbitrairement. Plus précisément, soit

(a_{ν})

la suite des pôles d'une fonction méromorphe. Si cette suite est finie, alors il n'y a pas de problème : la fonction ne diffère d'une fonction entière que par la somme des parties principales. Le travail original de Mittag-Leffler consiste à généraliser ce résultat au cas où la suite des pôles est infinie et vérifie

lim_{ν} a_{ν} = \infty .

Dans ce cas, la somme des parties principales peut diverger et on doit ajouter à chaque terme un certain polynôme pour réobtenir la convergence. Les articles originaux [1877a, b, c, d] de Mittag-Leffler sont publiés dans les Comptes rendus de l'Académie de Stockholm (Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar) et les principaux résultats résumés dans une lettre à Hermite publiée dans le Bulletin des Sciences Mathématiques [1879a].

Weierstrass simplifie la démonstration de ce résultat dans une note aux Monatsberichte [1880b] et Hermite propose aussi une autre démonstration de ce théorème [1881c].

^{3}

Voir mittag-leffler1, note n°3.

^{4}

Mittag-Leffler proposera à Poincaré une généralisation de son théorème applicable au cas où la suite des pôles reste bornée et donc adaptable à certaines fonctions à espace lacunaire (voir mittag-leffler13, note n°28). Poincaré n'utilise pas ces résultats de Mittag-Leffler dans les mémoires sur les fonctions fuchsiennes. Il fait allusion à la méthode de Mittag-Leffler dans son mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes pour expliquer sa démonstration de l'existence des fonctions zétafuchsiennes de deuxième espèce :

L'analogie avec la théorie des facteurs primaires de M. Weierstrass et avec le théorème de M. Mittag-Leffler va nous conduire à la généralisation cherchée. [1884b, p. 456]

Par contre, il utilise explicitement les résultats de Mittag-Leffler dans son travail sur les fonctions de deux variables [1883c] (voir mittag-leffler25).

D'autre part, dans son étude et sa classification des fonctions thétafuchsiennes [1882f, p. 186], Poincaré reprend la classification des fonctions selon leurs points singuliers que Mittag-Leffler propose dans sa note aux Comptes rendus du 3 avril 1882 [Mittag-Leffler 1882a, p. 938-941] (voir mittag-leffler13, note n°25 et 28, mittag-leffler14, note n°13).

^{5}

L'adresse de vacances qu'indique Poincaré est celle de ses parents.

Archives Henri Poincaré (CNRS, UMR 7117)