Poincaré à Mittag-Leffler

Paris, le 26 Juillet 1881

^{1}

Mon cher ami,

Je vous remercie beaucoup de votre lettre et des preuves d'amitié que vous voulez bien me donner.
Je ne comprends pas bien ce que vous me dites au sujet de l'équation :

u_{1} F_{1} \frac{dz}{{du}_{1}} + u_{2} F_{2} \frac{dz}{{du}_{2}} + \dots + u_{n} F_{n} \frac{dz}{{du}_{n}} = z

Vous dites que l'intégrale est

z = C . u_{1}

Cela ne serait exact que si

F_{1}

était identiquement égal à 1. Or, ce n'est pas cela que j'ai supposé ; /

^{2}

j'ai supposé seulement que

F_{1}

se réduit à 1 quand on annule tous les u. Il est vrai que dans le premier exemple que je vous avais envoyé, par suite d'une erreur que je vous prie de me pardonner j'avais pris

F_{1} =

identiquement 1. Il n'en était pas de même du second.

Si vous voulez bien, je vais prendre un autre exemple très simple, et calculer seulement les premiers termes de l'intégrale.

Je prends

^{3}

deux variables seulement

u_{1}

u_{2}

; Soit :

^{4}

u_{1} (1 + u_{2}) \frac{dz}{{du}_{1}} + u_{2} λ_{2} \frac{dz}{{du}_{2}} = z

Je pose :

\begin{matrix} z = α_{1} u_{1} + α_{2} u_{2} + β_{1} u_{1}^{2} + β_{2} u_{1} u_{2} + β_{3} u_{2}^{2} + γ_{1} u_{1}^{3} + γ_{2} u_{1}^{2} u_{2} + γ_{3} u_{1} u_{2}^{2} + γ_{4} u_{2}^{3} + δ_{1} u_{1}^{4} + δ_{2} u_{1}^{3} u_{2} + δ_{3} u_{1}^{2} u_{2}^{2} + δ_{4} u_{1} u_{2}^{3} + δ_{5} u_{2}^{4} + \dots \end{matrix}

et j'obtiens par la méthode des coefficients indéterminés /

\begin{matrix} [t] α_{1} = α_{1}, α_{2} = λ_{2} α_{2}, 2 β_{1} = β_{1}, β_{2} (1 + λ_{2}) + α_{1} = β_{2}, \\ 2 β_{3} λ_{2} = β_{3}, 3 γ_{1} = γ_{1}, 2 γ_{2} + 2 β_{1} + λ_{2} γ_{2} = γ_{2} \\ γ_{3} + β_{2} + 2 λ_{2} γ_{3} = γ_{3}, 3 λ_{2} γ_{4} = γ_{4}, \\ 4 δ_{1} = δ_{1}, 3 δ_{2} + 3 γ_{1} + λ_{2} δ_{2} = δ_{2} \\ 2 δ_{3} + 2 γ_{2} + 2 λ_{2} δ_{3} = δ_{3}, δ_{4} + γ_{3} + 3 λ_{2} δ_{4} = δ_{4}, 4 λ_{2} δ_{5} = δ_{5} \end{matrix}

d'où l'on tire, en supposant arbitrairement

α_{1} = 1

;

\begin{matrix} [t] α_{2} = 0 β_{1} = 0 β_{2} = - \frac{1}{λ_{2}} β_{3} = 0 γ_{1} = 0 γ_{2} = 0 γ_{3} = \frac{1}{2 λ_{2}^{2}} γ_{4} = 0 δ_{1} = 0 \\ δ_{2} = 0 δ_{3} = 0 δ_{4} = - \frac{1}{6 λ_{2}^{3}} δ_{5} = 0 \end{matrix}

d'où:

z = u_{1} - \frac{u_{1} u_{2}}{λ_{2}} + \frac{u_{1} u_{2}^{2}}{2 λ_{2}^{2}} - \frac{u_{1} u_{2}^{3}}{6 λ_{2}^{3}} + \dots

^{5}

On pourrait évidemment trouver l'intégrale de la façon suivante

^{6}

; posant

z = {tu}_{1}

il vient :

t (1 + u_{2}) + u_{1} (1 + u_{2}) \frac{dt}{{du}_{1}} + u_{2} λ_{2} \frac{dt}{{du}_{2}} = t

dont une intégrale s'obtient simplement en posant :

t + λ_{2} \frac{dt}{{du}_{2}} = 0

d'où :

t = e^{- \frac{u_{2}}{λ_{2}}}

de sorte que l'intégrale holomorphe s'écrit :

z = u_{1} e^{- \frac{u_{2}}{λ_{2}}}

multiplié par une constante./

Dans cet exemple, en posant ensuite

λ_{2} = x - α_{2}

comme je le fais dans ma note, on n'aurait pas d'espace lacunaire

^{7}

. Cela n'arriverait que dans des cas plus compliqués. Mais ce qui précède suffira, je pense, pour vous faire comprendre comment il faudrait conduire le calcul dans tous les cas possibles.

Veuillez agréer, mon cher ami, l'expression de mon amitié sincère et de mon estime pour votre talent.

Poincaré

ALS 3p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes:

^{1}

[IML Poincaré 4] Paris-26 juillet - Helsingfors-31 juillet.
Cette lettre a été publiée en partie dans les Acta mathematica, 38, p. 152.

^{2}

[que

F_{1}

se] rayé.

^{3}

[Soit] rayé Je prends ... .

^{4}

[

u_{3} λ_{3} dz / {du}_{3}

] rayé. Poincaré se proposait d'analyser dans un premier mouvement, un exemple à 3 variables puisque son exemple à deux variables est obtenu en rayant le dernier terme du premier membre de l'équation :

u_{1} (1 + u_{2}) \frac{dz}{{du}_{1}} + u_{2} λ_{2} \frac{dz}{{du}_{2}} + u_{3} λ_{3} \frac{dz}{{du}_{3}} = z

Poincaré poursuivait en écrivant le développement général d'une fonction à 3 variables.

[Je pose :

z = α_{1} u_{1} + α_{2} u_{2} + α_{3} u_{3} + β_{1} u_{1}^{2} + β_{2} u_{2}^{2} + β_{3} u_{3}^{2} + γ_{1} u_{2} u_{3} + γ_{2} u_{1} u_{3} + γ_{3} u_{1} u_{2} + δ_{1} u_{1}^{3} + δ_{2} u_{2}^{3} + δ_{3} u_{3}^{3} + ϵ_{1} u_{1}^{2} u_{3} + ϵ

] passage rayé.

^{5}

Et donc :

z = u_{1} \sum_{k} \frac{1}{k!} {(\frac{- u_{2}}{λ_{2}})}^{k} = u_{1} e^{- \frac{u_{2}}{λ_{2}}}

^{6}

Poincaré propose d'utiliser une méthode de variation de la constante, méthode qu'il utilisera dans le cas général. (voir mittag-leffler8).

^{7}

Comme Poincaré vient de le montrer, les équations de récurrence vérifiées par les solutions de l'équation différentielle admettent des solutions indépendamment de la valeur de

λ_{2}

. Dans ce cas, la solution est une fonction du paramètre x qui «existe partout sauf en des points isolés. Il n'y a pas d'espace lacunaire» [Poincaré 1881a, p. 29].

Archives Henri Poincaré (CNRS, UMR 7117)