Poincaré à Mittag-Leffler

Caen, le 1er Août 1881

^{1}

Mon cher ami,

Permettez-moi de vous envoyer encore un exemple relatif à notre équation

\sum u_{i} F_{i} \frac{dz}{{du}_{i}} = z

(1)

exemple qui mettra bien en lumière la nature et les propriétés de l'intégrale.

Je suppose, vous vous le rappelez, que, quand on annule tous les u,

F_{1}, F_{2}, \dots F_{n}

se réduisent à 1,

x - α_{2}, \dots x - α_{n} .

Je pose

^{2}

z = {tu}_{1}

d'où :

\frac{dz}{{du}_{i}} = u_{1} \frac{dt}{{du}_{i}} \frac{dz}{{du}_{1}} = t + u_{1} \frac{dt}{{du}_{1}}

L'équation (1) va devenir, en supposant n = 3 pour fixer les idées :

u_{1} F_{1} \frac{dt}{{du}_{1}} + u_{2} F_{2} \frac{dt}{{du}_{2}} + u_{3} F_{3} \frac{dt}{{du}_{3}} = t (1 - F_{1})

/ Je pose maintenant :

t = e^{v}

d'où

\frac{dt}{{du}_{i}} = e^{v} \frac{dv}{{du}_{i}}

l'équation (1) devient alors :

u_{1} F_{1} \frac{dv}{{du}_{1}} + u_{2} F_{2} \frac{dv}{{du}_{2}} + u_{3} F_{3} \frac{dv}{{du}_{3}} = (1 - F_{1})

ou en posant :

\frac{F_{2}}{F_{1}} = ϕ_{2} \frac{F_{3}}{F_{1}} = ϕ_{3} \frac{1 - F_{1}}{F_{1}} = ϕ

u_{1} \frac{dv}{{du}_{1}} + u_{2} ϕ_{2} \frac{dv}{{du}_{2}} + u_{3} ϕ_{3} \frac{dv}{{du}_{3}} = ϕ

Quand on annule tous les u, les fonctions

ϕ_{2}, ϕ_{3} et ϕ

se réduisent respectivement à :

x - α_{2}, x - α_{3}, 0

Eh bien, je vais supposer que

ϕ_{2} et ϕ_{3}

se réduisent identiquement à

x - α_{2}, x - α_{3};

j'aurai ainsi un exemple simple où l'intégrale s'écrira presqu'immédiatement.

Soit en effet :

ϕ = \sum A_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} u_{1}^{m_{1}} u_{2}^{m_{2}} u_{3}^{m_{3}}

et écrivons que la fonction inconnue v s'écrit :

v = \sum C_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} u_{1}^{m_{1}} u_{2}^{m_{2}} u_{3}^{m_{3}}

On a, en identifiant :

C_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} (m_{1} + m_{2} (x - α_{2}) + m_{3} (x - α_{3})) = A_{m_{1}, m_{2}, m_{3}}

(2)

ce qui donne les valeurs des C. Il n'y aurait en effet de difficulté que si l'on avait :

m_{1} + m_{2} (x - α_{2}) + m_{3} (x - α_{3}) = 0

Or dans le cas où l'origine est extérieure au triangle / formé par les points 1,

x - α_{2}, x - α_{3};

cela ne peut arriver que si

m_{1} = m_{2} = m_{3} = 0

^{3}

Mais alors, comme

A_{0, 0, 0}

est nul, l'équation (2) se réduit à une identité.
Quant à la convergence de la série, elle se démontre aisément dans le cas où l'origine est extérieure au triangle 1,

x - α_{2}, x - α_{3} .

^{4}

On a donc une fonction v holomorphe définie par la série convergente :

v = \sum \frac{A_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} u_{1}^{m_{1}} u_{2}^{m_{2}} u_{3}^{m_{3}}}{m_{1} + m_{2} (x - α_{2}) + m_{3} (x - α_{3})}

ce qui définit en même temps une intégrale z holomorphe de l'équation (1).
Ces fonctions v et z présenteront un espace lacunaire déterminé par la condition que l'origine soit intérieure au triangle 1,

x - α_{2}, x - α_{3} .

Cet espace lacunaire est limité par trois droites, dont l'une est la droite

α_{2} α_{3}

et les autres sont les parallèles à l'axe des quantités réelles menées par

α_{2} et α_{3}

dans la direction des quantités réelles négatives

^{5}

[Figure]

/ Si au lieu de supposer que

F_{2} et F_{3}

se réduisent à

x - α_{2}, x - α_{3}

quand on annule tous les u, j'avais supposé que ces fonctions se réduisent à

\frac{x - α_{2}}{x - α_{1}}, \frac{x - α_{3}}{x - α_{1}}

j'aurais eu pour espace lacunaire le triangle

α_{1} α_{2} α_{3}

^{6}

. Vous voyez comment dans le cas simple où l'on a identiquement :

F_{2} = F_{1} \times (x - α_{2}) F_{3} = F_{1} \times (x - α_{3})

ou bien

F_{2} = F_{1} \times \frac{x - α_{2}}{x - α_{1}} F_{3} = F_{1} \times \frac{x - α_{3}}{x - α_{1}}

la question peut se traiter. Si vous le désirez d'ailleurs, je pourrai vous envoyer un exemple plus compliqué.

Veuillez agréer, mon cher ami, l'assurance de mes sentiments les plus dévoués.

Poincaré

Time-stamp: <20.07.2007 10:16>

Notes:

^{1}

[IML Poincaré 5] Caen-1er août - Helsingfors-6 août.
Cette lettre est écrite sur un papier à l'en-tête de la Faculté des Sciences de Caen. Elle a été publiée en partie dans les Acta mathematica, 38, p. 153-155.

^{2}

Quand F

_{1}

est identiquement égale à 1, la seule intégrale holomorphe est

{Cu}_{1}

. Lorsque F

_{1}

«se réduit à 1 quand on annule les u», les solutions sont obtenues en faisant varier la constante (voir mittag-leffler7).

^{3}

La condition

m_{1} + m_{2} (x - α_{2}) + m_{3} (x - α_{3}) = 0

exprime que 0 est le barycentre des points 1,

x - α_{2}, x - α_{3},

affectés des poids

m_{1}, m_{2}, m_{3}

. Comme les coefficients sont positifs, cette condition revient à affirmer que 0 appartient au triangle de sommets 1,

x - α_{2}, x - α_{3} .

^{4}

Il est clair que si la série

ϕ = \sum A_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} u_{1}^{m_{1}} u_{2}^{m_{2}} u_{3}^{m_{3}}

converge, a fortiori la série de terme général

\frac{A_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} u_{1}^{m_{1}} u_{2}^{m_{2}} u_{3}^{m_{3}}}{m_{1} + m_{2} (x - α_{2}) + m_{3} (x - α_{3})}

est aussi convergente tant que

m_{1} + m_{2} (x - α_{2}) + m_{3} (x - α_{3}) \neq 0 .

^{5}

Comme 0 appartient au triangle 1,

x - α_{2}, x - α_{3},

il existe

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

positifs vérifiant

λ_{1} + λ_{2} (x - α_{2}) + λ_{3} (x - α_{3}) = 0 .

L'affirmation de Poincaré est donc justifiée puisqu'on peut donc écrire

x = μ + a α_{1} + b α_{2}

où

μ \geqslant 0 et a + b = 1 .

^{6}

En reprenant les mêmes notations que dans l'exemple précédent et en supposant que

F_{2} et F_{3}

se réduisent à

\frac{x - α_{2}}{x - α_{1}}, \frac{x - α_{3}}{x - α_{1}},

on obtient

C_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} (m_{1} + m_{2} (\frac{x - α_{2}}{x - α_{1}}) + m_{3} (\frac{x - α_{3}}{x - α_{1}})) = A_{m_{1}, m_{2}, m_{3}} .

De la même manière, il n'y a des difficultés que si

m_{1} + m_{2} (\frac{x - α_{2}}{x - α_{1}}) + m_{3} (\frac{x - α_{3}}{x - α_{1}}),

autrement si 0 appartient au triangle de sommets

x - α_{1}, x - α_{2}, x - α_{3},

ou si x appartient au triangle de sommets

α_{1}, α_{2}, α_{3} .

Archives Henri Poincaré (CNRS, UMR 7117)